Основы булевой математики
Анализ комбинационных устройств и
цифровых логических схем проще всего проводить с помощью булевой
математики, оперирующей только с двумя понятиями: истинным (логическая
1) и ложным (логический 0). В результате функции, отображающие
информацию, принимают в каждый момент времени только значения 0 или 1.
Такие функции называют логическими. Логические функции Y нескольких
переменных (X0, X1, ..., Xn-1) определяют характер логических операций,
в результате которых набору входных переменных ставиться в соответствие
переменная Y
Y=f(X0, X1, ..., Xn-1).
Наиболее наглядно функция преобразования характеризуется таблицей, в
строках которой каждой комбинации входных переменных X соответствует
значение переменной Y. Её называют таблицей истинности.
| X1 |
X2 |
Y=X1*X2 |
| 0 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
0 |
| 1 |
0 |
0 |
| 1 |
1 |
1 |
Таблица 1
Основными логическими функциями являются логическое умножение
(конъюнкция), логическое сложение (дизъюнкция) и логическое отрицание
(инверсия). При логическом умножении входные переменные (две или более)
соединяют союзом И (AND). Такую операцию обозначают /\ или знаком
умножения (*). Функция Y1=X1*X2 принимает значение логической 1 только
при равенстве 1 всех входных переменных. Если хоть одна переменная равна
0, то и выходная функция равна 0 (таблица 1).
При логическом сложении два и более высказываний соединяют союзом ИЛИ
(OR). Обозначают эту операцию символом \/ или знаком сложения (+)
Таблица истинности для дизъюнкции имеет такой вид.
| X1 |
X2 |
Y=X1*X2 |
| 0 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
1 |
| 1 |
1 |
1 |
Таблица 2
Высказывание (Х1+Х2) истинно, если истинно хоть одно из высказываний
входящих в ее состав.
При логическом отрицании функция НЕ (NOT) значение выходной функции
противоположно входной переменной (табл. 3). Эту операцию обозначают Х
(читается "НЕ X").
Таблица 3
Конъюнкцией, дизъюнкцией и инверсией можно выразить любые другие более
сложные операции над высказываниями. Поэтому система функций Y1=Х1*Х2,
Y2=Х1+Х2 и Y3=-Х обладает функциональной полнотой. В качестве примера
рассмотрим несколько функций, реализуемых с помощью элементов
вычислительной техники. Равнозначностью (или эквивалентной) называют
функцию Y двух аргументов X1 и Х2, которая принимает значениеY=1 при
Х1=Х2=1 или при Х1=Х2=0. При различных значениях аргументов Х1≠Х2
значение функции Y=0. Можно показать, что функция Y имеет вид Y=X1*Х2+(-Х1)*(-Х2),
что подтверждается подстановкой в выражение соответствующих значений
аргументов. Неравнозначностью называют функцию Y двух аргументов X1 и
Х2, принимающую значение 1 при Х1≠Х2, и значение 0 при Х1=Х2=0 или,. при
Х1=Х2=1. В этом случае будем иметь Y=Х1*Х2+Х1*Х2. Операцию
неравнозначности чаще называют суммированием по модулю 2 и обозначают Y=Х1(+)Х2.
Существуют также функционально полные системы, состоящие лишь из одной
функция. К ним, в частности, относятся функции И-НЕ (Y= -(Х1*Х2) и
ИЛИ-НЕ (Y=-(Х1+Х2)), широко используемые при моделировании цифровых
устройств. Приведем таблицу истинности функций И-НЕ и ИЛИ-НЕ двух
переменных X1 и Х2.
| X1 |
X2 |
Y=-(X1*X2) |
Y=-(X1+X2) |
| 0 |
0 |
1 |
1 |
| 0 |
1 |
1 |
0 |
| 1 |
0 |
1 |
0 |
| 1 |
1 |
0 |
0 |
Таблица 4
Булева математика позволяет преобразовать формулы, описывающие сложные
высказывания, с целью их упрощения. Это помогает в конечном итоге
определять оптимальную структуру того или иного цифрового устройства,
реализующего любую сложную функцию. Под оптимальной структурой принято
понимать построение устройства, при котором число входящих в его состав
элементов минимально.
Автор материала: GIG. Со вопросами и предложениями обращаться
по адресу
-=GiG=-
Любое копирование данной информации запрещено, без указания ссылки на
сайт Паяльник и автора статьи GIG! |
